17 April 2016

ALJABAR BOOLEAN

  1. Pengantar.
  • Jika B adalah himpdengan 2 operasi biner (+ dan *) dan operasi [’], elemen 0 dan 1 merupakan 2 elemen berbeda dalam B, maka [B, +, *, ’, 0, 1] disebut aljabar Boolean jika aksioma-aksioma berlaku untuk setiap elemen a, b, c dalam B, sbb :
Hukum komutatif.
a+b=b+a                          a*b=b*a
Hukum distributif.
a*(b+c)=(a*b)+(a*c).
a+(b*c)=(a+b)*(a+c).

Hukum identitas.
a+0=a.                              a*1=a
Hukum komplemen.
a+a’=1.                            a*a’=0.
  • Dlm Aljabar Boolean, elemen 0 disebut elemen zero, elemen 1 disebut elemen unit, a’ disebut komplemen a.
  • Hukum-hukum lain yang berlaku dalam aljabar Boolean :
1.Hukum idempotent.
a+a=a.                                   a*a=a.
2.Hukum keterbatasan (boundedness).
a+1=1                                    a*0=0.
3.Hukum penyerapan (absorbsi).
a+(a*b)=a.                           a*(a+b)=a.
4.Hukum asosiatif.
(a+b)+c=a+(b+c).               (a*b)*c=a*(b*c)
5.Hukum De Morgan.
(a+b)’ = a’ * b’                   (a*b)’=a’+b’
  • Aljabar Boolean 2 nilai (0 dan 1).
  • +01
    001
    111
  • aa’
    10
    01
  • *01
    000
    101
  • Contoh :
Jika a=1101, b=1011, maka :
1.a+b   = 1111.
2.a*b  = 1001.
3.a’  = 0010.
Catatan :
  • 1. a+b = KPK(a,b).
  • 2. a*b = FPB(a,b).
Contoh :
  • 2+2=2               2*2=2                 3+7   =                   6*8     =
  • 2+4=4               2*4=2                4+9   =                   12*18 =
  • 4+6=12            4*6=2                4+10 =                    5*10   =
  • 3+5=15            3*5=1                6+8   =                    6*9     =
Contoh :
  • D70={1,2,5,7,10,14,35,70} pembagi 70, maka :
  • 1. 10+14=70. 4. 2+5=10.
  • 2. 10*14=2. 5. 10*35=5.
  • 3. 10’=70/10=7. 6. 5’=70/5=14.
Tentukan :
  • X=35*(2+7’) =
  • Y=(35*10)+14’ =
  • Z=(2+7)*(14+10)’   =
  • Buktikan hukum penyerapan.
  • Buktikan hukum distributif.
  • Buktikan hukum De Morgan.
Prinsip Dualitas
  • Prinsip dualitas dari S adalah pernyataan yang diper-oleh dengan mengubah oprasi + menjadi * (atau seba-liknya) dan elemen 0 menjadi 1 (atau sebaliknya).
Contoh :
(a*1)*(0+a’)=0 dualnya : (a+0)+(1*a’)=1.
a+a’b = a+b  dualnya :   a(a’+b) = ab
Tentukan dual dari :
1.a(a’+b)=ab.
2.(a+1) (a+0)=a
3.(a+b) (b+c) =ac+b
  Pembuktian rumus dualitas dilakukan berdasarkan ak-sioma dan sifat aljabar Boolean, yaitu:
  • Buktikan bahwa :
a+a = a
Pembuktian :
  a+a  = (a+a) (1)               identitas
           = (a+a) (a+a’)         komplemen
           = a+(a.a’)                distributif.
           = a+0                        identitas.
          = a.
a.a = a
Pembuktian :
  a.a  = (a.a) + 0               identitas
         = (a.a) + (a.a’)         komplemen
         = a (a+a’)                 distributif.
         = a.1                         identitas.
         = a.
a+1 = 1
Pembuktian :
  a+1  = a+(a+a’)         komplemen
          = (a+a) +a’         asosiatif
          = a+a’                 distributif.
          = 1                       komplemen.
Fungsi Boole.
  • Aljabar Boole 2 nilai, B={0,1}. Peubah (variabel) x di-sebut peubah Boole (peubah linier) jika nilainya hanya dari B. Fungsi Boole adalah ekspresi yang dibentuk dari peubah biner, 2 operator biner [+] dan [*], operator uner komplemen [‘]. Setiap peubah Boole, termasuk komplemen disebut literal.
Contoh :
1.f(x)   = x
2.f(x,y)  = x’y + xy’ + y’
3.f(x,y)  = x’ y’
4.f(x,y,z)   = xyz’
5.f(x,y,z)   = xy’z + yz’ + xyz’
  • Fungsi : h(x,y,z) = xyz’
  • Untuk : h(1,1,0) = 1.1.0’
                             = 1.1.1
                            = 1.
Contoh :
  • Diketahui fungsi Boole h(x,y,z) = xyz’ nyatakan h dalam bentuk tabel kebenaran.
XYZZ’h=xyz’
00010
00100
01010
01100
10010
10100
11011
11100
Prinsip dualitas.
  • Dual dari fungsi Boole adalah fungsi lain yang diperoleh dengan mengubah + menjadi * (atau sebaliknya) dan 0 menjadi 1 (atau sebaliknya), komplemen tetap komplemen. 
  • Fungsi F dualnya adalah F*
  • Contoh :
  1. F = (a*1) * (0+a’) = 0, dualnya :
    F* = (a+0) + (1+a’) = 1.
  1. F = a+a’b=a+b, dualnya :
    F* = a*(a’+b)=a*b.
Komplemen fungsi : 
  • Komplemen dari fungsi f adalah f’. Komplemen fungsi dapat dicari dengan 2 cara :
1. Dengan dual, yaitu :
Tentukan dual fungsinya.
Komplemenkan setiap variabelnya.
2. Dengan hukum De Morgan.
(x+y)’ = x’. y’
(x.y)’ = x’ + y’
Contoh :
Tentukan komplemen dari :
  1. f(x,y) = (x+y), maka :
    f’(x,y) = (x+y)’
               = x’.y’ 
  1. f(x,y,z) = x(y’z’+yz).
f’(x,y,z,) = [x (y’z’+yz)]’
            = x’+(y’z’+yz)’
           = x’+(y’z’)’.(yz)’
         = x’+(y+z)+(y’+z’).
Bentuk Kano Hukum-hukum Boole yang banyak digunakan adalah :
1.Hukum distributif.
x(y+z)=(xy)+(xz).
x+yz=(x+y) (x+z).
2.Hukum De Morgan.
(x+y)’ = x’. y’
(xy)’ = x’+ y’
  Ada dua bentuk kanonik , yaitu :
  1. Minterm atau sum–of–product (SOP, notasi S/sigma)
SOP mrpk penjumlahan dari hasil kali.
  1. Maxterm atau product–of–sum (POS, notasi Π/phi)
POS mrpk perkalian dari hasil jumlah.
Minterm dan Maxterm 2 peubah biner :
XYMintermMaxterm
SukuLambangsukuLambang
00x’ymox+yMo
01x’ym1x+yM1
10xy’m2x’+yM2
11xym3x‘+y’M3
Minterm dan Maxterm 3 peubah biner :
XYZMintermMaxterm
SukuLambangsukuLambang
000x’y’z’mox+y+zMo
001X’y’zm1x+y+z’M1
010X’yzm2x+y’+zM2
011X’yzm3x+y’+z’M3
100xy’z’m4x’+y+zM4
101xy’zm5x’+y+zM5
110xyz’m6x’+y’+zM6
111xyzm7x’+y’+zM7
SOP : Kombinasi peubah yang menghasilkan nilai 1 dan
POS : Kombinasi peubah yang menghasilkan nilai 0
Contoh (1) :
Tentukan nilai SOP dan POS pada tabel :
SOP :
F(x,y)    = x’y’ + xy
              = m0+m3   
              = S(0,3)
POS :
F(x,y)    = xy’ + x’y
             = M1.M2.   
             = Π(1,2)
xyf(x,y)
001
010
100
111
Contoh (2) :
Tentukan nilai SOP dan POS pada tabel :
xyZf(x,y,z)
0000
0011
0100
0110
1001
1010
1100
1111
SOP :
f(x,y,z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
f(x,y,z) = m1 + m 4 + m7   = S(1,4,7) 
POS :
f (x,y,z)=(x+y+z)(x+y’+z)(x+y‘+z’) (x’+y+z’)(x’+y’+z)
f (x,y,z)=Mo.M2.M3.M5.M6= Π(0,2,3,5,6)
Contoh (3) :
Nyatakan fungsi Boole  f(x,y,z)=x+y’z dlm SOP dan POS
Jawab :
  1. SOP :
Tiap suku harus memuat literal lengkapshg :
x  = x(y+y’ )
    = xy+xy
    = xy(z+z’)+xy’(z+z’)
    xyz+xyz’+xy’z+xy’z
y’z = y’z(x+x’)
      = xy’z+x’y’z 
Jadi  f (x,y,z )=x+y’z
  = xyz+xyz’+xy’z+xy’z’+xy’z+x’y’z
  = m1+m4+m5+m6+m7
  = S (1,4,5,6,7)
  1. POS :
f(x,y,z ) = x+y’z
      = (x+y’)(x+z
Tiap suku harus memuat literal lengkapshg :
x+y’  = x+y’+zz’.
         = (x+y’+z) (x+y’+z’).
x+z   = x+z+yy’.
         = (x+y+z) (x+y’+z). 
Jadi f(x,y,z)=(x+y’+z) (x+y’+z’) (x+y+z) (x+y’+z).
                 = (x+y’+z) (x+y’+z’) (x+y+z).
                 = Mo.M2.M3.
                 = Π(0,2,3).

No comments:

Post a Comment