15 April 2016

KOMBINATORIAL

Aturan Perkalian
Misalkan terdapat n tempat yang tersedia dengan:
  • P1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat pertama
  • P2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi
  • P3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat pertama dan kedua terisi
  • Pn adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat kedua, ketiga, …, (n-1) terisi
  • Dari pernyataan di atas, maka dapat disimpulkan banyak cara untuk mengisi n tempat secara keseluruhan adalah:
P1 x P2 x P3 x …. x Pn

Diketahui angka-angka 0,1,2,3,4. berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibentuk dari angka-angka tersebut jika tidak boleh ada angka yang sama !
Jawab
Bilangan tiga angka memiliki nilai tempat ratusan, puluhan, dan satuan
  • Nilai Ratusan (angka pertama) dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu 1, 2, 3, 4 (misalnya angka 2)
  • Nilai puluhan (angka kedua) dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu 0,1,3,4 (misalnya angka 4)
  • Nilai satuan (angka ketiga) dapat dipilih dengan 3 cara, yaitu 0,1,3 (misalnya angka 0)
  • Sehingga diperoleh 4 x 4 x 3 = 48 bilangan
  1. Pengantar.
  • Kombinatorial adalah cabang matematika yang mem-pelajari pengaturan obyekobyek.
  Percobaan :
  • Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu percobaan atau kejadianPercobaan ada-lah proses fisik yang hasilnya dapat diamati.
Contoh :
  1. Melempar daduAda 6 hasil yang mungkin yaitu 1,2,3,4,5, dan 6.
  2. Melempar koin. Ada 2 hasil (H,T).
  3. Mengambil 1 kartu dari kartu bridge. Ada 52 hasil.
  • Kaidah Dasar Menghitung Ada dua kaidah dasar untuk mengitung kombinatorial,
  1. Kaidah Perkalian (rule of product).
  Bila percobaan ke-1 mempunyai p hasil dan  percobaan ke-2 mempunyai q hasilmaka bila percobaan 1 dan 2 dilakukanmaka hasilnya = pxq
Contoh 1 :
  • Ada 4 orang pria dan 3 orang wanita. Ada brp cara memilih 1 pria dan 1 wanita ?
Jawab :
Ada 4 kemungkinan memilih 1 pria dan 3 kemungkinan memilih 1 wanita. Jika dipilih 1 pria dan 1 wanita, maka jumlah kemungkinan = 3 x 4 = 12
  • Kaidah Penjumlahan (rule of sum)
  • Bila percobaan ke-1 mempunyai p hasil dan percobaan ke-2 mempunyai q hasilmaka bila hanya satu percobaan salah satu saja yang dilakukan  (percobaan 1 atau 2), maka kemungkinan hasil = p+q 
Contoh 2 :
  • Ada 4 orang pria dan 3 orang wanita. Ada brp cara memilih 1 orang yang mewakili kelompok tersebut (tidak peduli pria atau wanita).
Jawab :
  • Ada 4 kemungkinan memilih 1 pria dan 3 kemungkinan memilih 1 wanita. Jika 1 orang yang dipilih, maka jumlah kemungkinan = 4+3=7.
  1. Faktorial.
  • n! (n factorial), n! = n (n-1) (n-2) … (n(n-1)).
  • Contoh :
  • 4! = 4x3x2x1 = 24.
  • 3! = 3x2x1 = 6.
  • 1! = 1.
  • 0! = 1.
  1. Permutasi
  • Permutasi adalah pengaturan obyek-obyek kedalam urutan berbeda dimana susunan obyek diperhatikan. (Susunan AB¹BA).
Notasi :
  • P(n,ratau nPr
  •                    n!
  • P(n,r) = ----------
  •                 (n–r)!
  • Jika r=n, maka :
  •                    n!            n!
  • P(n,n) = ---------- = ------- = n!
  •                 (n-n)!          0!
  • Contoh (1) :
  • Pengurus organisasi akan membentuk panitia beranggotakan 3 orang dari 3 orang calon (ABC). Berapa banyak macam pasangan yang bisa dipilih ?
Jawab :
  • R = n = 3
  • P(3,3) = 3! = 6.
  • Macam pasangan : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
  • Contoh (2) :
  • Sidang MPR akan memilih presiden dan wakilnyaAda 5 calon presiden dan wapres (ABCDE). Berapa banyak macam pasangan yang bisa dipilih ?
  • Jawab :
  •                  5 !         5!
  • P(5,2) = -------- = ----- = 20.
  •                 (5–2)!    3!
  • Macam pasangan :
  • AB, AC, AD, AE BC, BD, BE CD, CE  DE
  • BA, CA, DA, EA CB, DB, EB DC, EC  ED
  • Permutasi dengan pengulangan :
  •                                           n!  
  • P(n ; r1,r2,r3, … ) = ---------------  
  •                                    r1! r2! r3! …  
  • Contoh :
  • Ada 12 karton akan yang diwarnai : 3 warna hijau, 2 warna merah, 2 warna kuning, dan sisanya warna biruberapa jumlah cara pengecatannya ?
  • n=12, r1 (H)=3, r2 (M)=2, r3 (K)=2, r4 (K)=5,
  •             12!
  • m = -------------- = 166.320.
  •          3! 2! 2! 5!
2.Berapa macam susunan string ABA ? Dgn percobaan : ABA, AAB, BAA shg m=3. Dgn rumus m = .......
3.Berapa macam susunan string KATAK ?
4.Berapa macam susunan string JAYAKARTA ?
5.Berapa macam susunan string KUKUKAKIKU ?
  1. Kombinasi
  • Kombinasi merupakan pengurutan obyek-obyek dgn susunan diabaikanSusunan AB=BA.
  • Kombinasi r dari n obyek dinotasikan dengan :
  • C(n,r) = nCrdimana :
  •                     n!
  • C(n,r) = ------------
  •                r! (n-r)!Contoh (1) :
  • John akan membeli 2 PC. Di toko terdapat 4 PC. Ada berapa pilihan bagi John ? PC={P,Q,R,S}
  • n=4, r=2, maka :
                           4!              4!
  • C(4,2) = ------------ = ------- = 6
  •                (4–2)! 2!      2! 2!
  • Pilihan : PQ, PR, PS, QR, QS, RS.
Contoh (2) :
  • Ada 5 orang (ABCDE) peserta tes yang akan mengikuti wawancaraSetiap wawancara dipanggil 3 orang utk masuk ke ruang tes. Ada berapa cara pemanggilan ?
                           5!              5!
  • C(5,3) = ------------ = ------- = 10.
  •                (5–3)! 3!     2! 3!
  • Susunannya adalah :
  • ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE.
Kombinasi dengan pengulangan
  • C(n+r–1, r) adalah kombinasi yang memperbolehkan adanya pengulangan elemenyaitu dari n buah obyek akan diambil r buah objek.
Contoh (3) :
  • Dua koin dilempar bersama-sama, berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin.
  • Jawab :
  • C(2+2–1, 2) = C(3,2) = 3
  • Hasil : TT, TH, HH
Contoh (4) :
  • Dua dadu dilempar bersama-samaberapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin ?
  • Jawab :
  • C (6+2–1, 2 ) = C(7,2) = 21.
  1-1  1-2  1-3  1-4  1-5   1-6
  2-2  2-3  2-4  2-5  2-6
  3-3  3-4  3-5  3-6
  4-4  4-5  4-6
  5-5  5-6
  6-6
Contoh  (5) :
  • Tiga buah dadu dilempar bersamaanBerapa banyak-nya hasil berbeda yang mungkin ?
  • Jawab :
  • C (6+3–1, 3 ) = C(8,3) = 56.
Contoh  (6) :
  • Pak Yanto akan membeli 2 ayam dan 1 sapi dari pe-dagangPedagang memiliki ayam dan 2 sapiAda berapa macam pilihan bagi Pak Yanto ?
  • Jawab :
  • Ayam : A1, A2, A3.
  • Sapi : S1, S2.
  • Alternatif :
  • A1-A2-S1, A1-A3-S1, A2-A3-S1,
  • A1-A2-S2, A1-A3-S2, A2-A3-S2,
  • Ada 6 pilihan.
  m = n1 C r1 x n2 C r2 x … 
  • n1=3, r1=2.
  • n2=2, r2=1.
  • m = 3C22C1 = 3(2) = 6.

No comments:

Post a Comment