14 April 2016

RELASI DAN FUNGSI

Relasi menyatakan hubungan antara 2 himpunan atau lebih.
Jika A dan B adalah dua himpunan tak kosong, maka perkalian himpunan A dan B
AxB = {(a,b), dimana aEdan bEB}.
Jika n(A)=p, dan n(B)=q, maka n(AxB)=pxq.
Contoh :

A={1,2,3} dan B={x,y}, maka :
AxB={(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y)}
  • A={1,2}, tentukan A^3
  • A^2 = AxA = {(1,1), (1,2), (2,1),(2,2)}
  • A^3 = A^2xA={(1,1,1), (1,1,2) (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2)
  • Relasi biner antara A dengan B, maka Rc(A x B).
  • Relasi A ke B, maka
  • A : daerah asal (domain).
  • B : daerah hasil (kodomain).
  • Bagian dari B yang mempunyai relasi dengan A disebut image (range).
  • A={1,2,3,4} : domain.
  • B={a,b,c,d} : kodomain.
  • {a,b,c} : range.
  1. Representasi Relasi/Penyajian Relasi
  • Ada 5 cara untuk menyajikan relasiyaitu :
  1. Daftar (pasangan berurutan).
  2. Diagram anak panah.
  3. Tabel.
  4. Matriks relasi.
  5. Graf berarah.
  • Penjelasan.
  • Jika A={1,2,3,4} dan B=(x,y,z}.
  • merupakan relasi A ke B dengan definisi relasi
  • R={(1,x), (1,z), (2,x), (2,y), (3,y), (3,z), (4,x)}
  • Daftar (pasangan berurutan).
  • Relasi R disajikan dengan daftarmaka R={(1,x), (1,z), (2,x), (2,y), (3,y), (3,z), (4,x)}
  • Diagram anak panah.
  • Matriks relasi.
  • Relasi disajikan dalam M=mijdimana A sebagai baris dan B sebagai kolomJika antara A dan B ada relasi diberi tanda 1, jika tidak 0.
  • Graf berarah.
  • Graf berarah digunakan untuk relasi pada, yaitu relasi pada himpunan yang sama (A ke A).
  • Contoh :
  • A = {1,2,3,4}
  • R={(1,2), (1,4), (2,3), (3,4), (4,4).
  1. Sifat-sifat Relasi Biner
  • Ada beberapa sifat relasi, yaitu :
  1. Refleksif (memantul).
       Relasi R pada himp A refleksif jika (a,a)εR untuk setiap aεA.
  Contoh :
         Misalkan A={1,2,3,4,} 
  Relasi  R={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} adl refleksif
2.Setangkup (symmetric).
  Relasi R pada himpunan  A disebut setangkup jika untuk semua    a,bεA, jika (a,b)εR maka (b,a)εR.
  Contoh :
         Misalkan A={1,2,3,4}
         Relasi R={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,4), (4,2) adalah relasi setangkup.
3.Menghantar (Transitive).
   Relasi R pada himpunan A disebut menghantar bila (a,b)εR dan (b,c)εR, maka  (a,c)εR, untuk (a,b,c)εA.
  Contoh : 
  Misalkan A={1,2,3,4}
  Relasi R={(1,2), (2,3), (1,3)} bersifat menghantar.
  1. Kombinasi Relasi.
  • Relasi biner mrpk himp pasangan terurut, shg berlaku juga operasi himp (irisan, gabungan, selisih dan beda setangkup). Hasil operasi tersebut juga berupa relasi.
  • Jika R1 dan R2 adalah relasi dari himp A ke himp B, maka operasi R1dan R2 juga adalah relasi dari A ke B.
  • Contoh :
  • Jika A={a, b, c} dan B={a, b, c, d}. Relasi R1 dan R2 mrpk relasi dari A ke B, dmn R1={(a,a), (b,b), (c,c)} dan R2={(a,a), (a,b), (a,c), (a,d)}, maka hasil operasi R1 dan R2 adalah sbb :
  • R1UR= {(a,a)}
  • R1∩R2 = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c), (a,d)}
  • R1-R2 = {(b,b), (c,c)}
  • R2-R1 = {(a,b), (a,c), (a,d)}
  • R1 ÅR= {(b,b), (c,c), (a,b), (a,c), (a,d)}
  1. Komposisi relasi
  • Jika R adalah relasi dari himp A ke himp B, dan S ada-lah relasi dari himp B ke himp C, maka komposisi R dan S, dinotasikan dengan RoS, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan  oleh :
 RoS={(a,c) : aεA, cεC dan utk bεB, (a,b)εR dan (b,c)εS}
Contoh.
  • A={a,b,c} B={1,2,3,4} C={x,y,z}
  • R={(a,1), (b,3), (b,4), (c,2)}
  • S={(1,x), (2,x), (3,y), (4,z)}
  • RoS = {(a,x), (b,y), (b,z), (c,x)}
  • Jika disajikan dalam matriks relasi, maka :
                              x  y  z
                         a  1  0  0  
  • M(RoS) = b   0  1  1
                        c   1  0  0

FUNGSI
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan dengan tepat setiap unsur pada A ke satu unsur pada B
Jika A dan B adalah himp. Relasi biner f dari A ke B mrpk fungsi jika setiap elemen a dlm A terdapat satu elemen tunggal b di dlm B shg (a,b) ε f. Ditulis f(a)=b. Jika f adalah fungsi dari A ke B, ditulis f : A®B artinya f memetakkan A ke B.
 Ada beberapa bentuk fungsi, yaitu :
1.Fungsi satu-satu yaitu apabila setiap elemen ber-beda dalam A, mempunyai range berbeda.
2.Fungsi onto yaitu jika setiap elemen  B merupakan range berbeda dari elemen A.
3.Fungsi korespondensi satu-satu jika merupakan fungsi satu-satu dan onto.
4 .Fungsi invers yaitu jika dari A ke B merupakan fungsi, maka dari B ke A juga merupakan fungsi. Fungsi korespondensi satu-satu merupakan fungsi invers.
Fungsi Komposisi
Jika g : A -> B, maka y = g(x)
f : B -> C, maka z = f(y)
Maka fungsi komposisi f dan g dapat dituliskan:
h(x) = (f o g)(x) = f(g(x))
Sebaliknya
Jika f : A -> B, maka y = f(x)
g : B -> C, maka z = g(y)
Fungsi komposisi g dan f dapat dituliskan:
h(x) = (g o f)(x) = g(f(x))
Contoh fungsi Komposisi
1.Fungsi f : R -> R dan g : R -> R dimana
f(x) = 2x–1  dan g(x) = x2 + 1. Tentukan nilai (fog)(2)!
(fog)(x)= f(g(x))  (fog)(2) = 2(2)2 + 1
= f(x2+1)  (fog)(2) = 9
= 2(x2+1) – 1
= 2x2 + 2 – 1
= 2x2 + 1
2.Jika f(x) = 2x dan f(g(x)) = -10x + 8. Hitunglah g(x)!
subtitusikan f(x) dan f(g(x)) sehingga:
2g(x) = -10x + 8
g(x) = (-10x + 8) / 2
g(x) = -5x + 4
Fungsi Invers
Jika A dan B himpunan tidak kosong, maka himpunan semua pasangan terurut (x,y), dimana x E A dan y E B secara tunggal disebut y = f(x) fungsi. Sebaliknya himpunan pasangan terurut (y,x) dimana y E B dan ditentukan x E A secara tunggal, disebut fungsi invers.
Simbol : f^–1  atau f^–1(y) = x.
Operasi Aljabar pada Fungsi
1.Penjumlahan
dinyatakan dengan f + g, adalah fungsi yang didefinisikan oleh (f+g)(x) = f(x) + g(x)
2.Pengurangan
dinyatakan dengan f - g, adalah fungsi yang didefinisikan oleh (f-g)(x) = f(x) - g(x)
3.Perkalian
dinyatakan dengan f . g, adalah fungsi yang didefinisikan oleh (f.g)(x) = f(x) . g(x)
4.Pembagian
dinyatakan dengan f / g, adalah fungsi yang didefinisikan oleh (f/g)(x) = f(x) / g(x), dimana g(x)≠ 0

No comments:

Post a Comment